14150. Отрезок SO
— высота треугольной пирамиды SABC
, причём точка O
лежит на ребре AC
. Луч BO
— биссектриса угла ABC
.
а) Докажите, что расстояния от точки S
до прямых AB
и BC
равны.
б) Найдите объём пирамиды SABC
, если AB=10
, BC=20
, AC=18
, SA=6\sqrt{5}
.
Ответ. 96\sqrt{14}
.
Решение. а) Проведём из точки O
перпендикуляры OE
и OF
к рёбрам AB
и BC
соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах прямая SE
перпендикулярна прямой AB
, а прямая SF
— прямой BC
. Поскольку луч BO
— биссектриса угла ABC
, точка O
равноудалена от прямых AB
и BC
, т. е. отрезки OE
и OF
равны. Тогда прямоугольные треугольники EOS
и FOS
равны по двум катетам, а значит, их гипотенузы SE
и SF
также равны.
б) По свойству биссектрисы треугольника
AO:OC=AB:BC=10:20=1:2,
откуда AO=\frac{1}{3}AC=6
.
Из прямоугольного треугольника AOS
находим, что
SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\sqrt{180-36}=12,
а по теореме косинусов из треугольника ABC
—
\cos\angle ABC=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{11}{25},
откуда \sin\angle ABC=\frac{6\sqrt{14}}{25}
. Площадь S_{\triangle ABC}
треугольника ABC
равна
\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC=24\sqrt{14}.
Следовательно, объём пирамиды SABC
равен
\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot24\sqrt{14}\cdot12=96\sqrt{14}.
Источник: ЕГЭ. — 2021