1416. Диагональ AC
равнобедренной трапеции ABCD
равна a
и образует углы \alpha
и \beta
соответственно с большим основанием AD
и боковой стороной AB
. Найдите основания трапеции.
Ответ. a(\cos\alpha\pm\sin\alpha\cdot\ctg(\alpha+\beta))
.
Указание. Обозначьте через x
и y
основания трапеции и составьте систему уравнений относительно x
и y
.
Решение. Обозначим BC=x
, AD=y
. Пусть CH
— высота трапеции. Тогда
AH=AC\cos\angle CAH=a\cos\alpha,~CH=AC\sin\angle CAH=a\sin\alpha,
DH=CH\ctg\angle CDH=a\sin\alpha\ctg(\alpha+\beta).
Поскольку
DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{y-x}{2},~AH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{y+x}{2},
то имеем систему
\syst{\frac{y-x}{2}=a\sin\alpha\ctg(\alpha+\beta)\\\frac{y+x}{2}=a\cos\alpha,\\}
из которой находим, что
x=a(\cos\alpha-\sin\alpha\cdot\ctg(\alpha+\beta)),~y=a(\cos\alpha+\sin\alpha\cdot\ctg(\alpha+\beta)).