14160. Основание пирамиды DABC
— прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Высота пирамиды проходит через точку B
. Точки M
и N
— середины рёбер AD
и BC
соответственно.
а) Докажите, что луч MN
— биссектриса угла BMC
.
б) Найдите угол между прямыми BD
и MN
, если BD=6\sqrt{2}
, AC=16
.
Ответ. \arctg\frac{4\sqrt{2}}{3}
.
Решение. а) По теореме о трёх перпендикулярах отрезок DC
перпендикулярен отрезку AC
. Медиана CM
прямоугольного треугольника DCA
равна половине гипотенузы DA
. Медиана BM
прямоугольного треугольника ADB
также равна половине гипотенузы DA
. Значит, треугольник BCM
равнобедренный с основанием BC
, поэтому медиана MN
треугольника BCM
является биссектрисой этого треугольника, а луч MN
— биссектрисой угла BMC
.
б) Пусть ME
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на ребро AB
. Тогда E
— середина AB
, а ME
— средняя линия прямоугольного треугольника ABD
, значит, ME=\frac{1}{2}BD=3\sqrt{2}
и ME\parallel BD
. Поскольку BD
— перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, отрезок ME
— тоже перпендикуляр к этой плоскости.
Точки E
и N
— середины сторон AB
и BC
треугольника ABC
, значит, NE
— средняя линия треугольника ABC
, NE=\frac{1}{2}AC=8
. Поскольку отрезок ME
параллелен отрезку BD
, угол между скрещивающимися прямыми DB
и MN
равен углу между пересекающимися прямыми ME
и MN
, т. е. углу EMN
.
Из прямоугольного треугольника MNE
находим, что
\tg\angle EMN=\frac{EN}{ME}=\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.
Следовательно, \angle EMN=\frac{4\sqrt{2}}{3}
.