1417. На стороне угла с вершиной A
расположена точка B
. Из точки A
по второй стороне угла с постоянной скоростью ползёт муравей. Одновременно из точки B
по направлению к A
с той же скоростью выползает второй муравей. В момент, когда расстояние между муравьями наименьшее, второй муравей находится в точке P
. Найдите AP
, если известно, что AB=a
.
Ответ. \frac{a}{2}
.
Указание. Докажите, что точка P
— середина отрезка AB
. Для этого рассмотрите симметрию относительно биссектрисы данного угла.
Решение. Докажем, что P
— середина AB
. Предположим, что первый муравей находится в точке M
, отличной от P
, второй — в точке N
, а Q
— точка на луче AN
, причём AQ=AP
.
Пусть при симметрии относительно биссектрисы данного угла точки M
и N
переходят в M'
и N'
соответственно. Тогда MM'NN'
— равнобедренная трапеция. Скорости муравьёв одинаковы, поэтому AN'=AN=BM
. Значит, P
— середина MN'
. Тогда Q
— середина NM'
, и PQ
— средняя линия трапеции MM'NN'
.
Проведём высоту NC
этой трапеции. Тогда MN
— гипотенуза прямоугольного треугольника CMN
. Следовательно,
PQ=\frac{MM'+NN'}{2}=MC\lt MN
Что и требовалось доказать.
Тогда AP=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}
.