14172. Точки P
и Q
— середины рёбер AD
и CC_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно.
а) Докажите, что прямые B_{1}P
и QB
перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P
и перпендикулярной прямой BQ
, если ребро куба равно 6.
Ответ. 18\sqrt{5}
.
Решение. а) Опустим перпендикуляр PR
на ребро BC
. Тогда R
— середина BC
. Пусть M
— точка пересечения отрезков B_{1}R
и QB
. Прямоугольные треугольники RB_{1}B
и QBC
равны по двум катетам, поэтому
\angle BMR=180^{\circ}-\angle CBQ-\angle BRB_{1}=180^{\circ}-\angle CBQ-(90^{\circ}-\angle BB_{1}R)=
=180^{\circ}-\angle CBQ-(90^{\circ}-\angle CBQ)=90^{\circ}.
Значит, прямые QB
и B_{1}R
перпендикулярны, а так как PR
— перпендикуляр к плоскости BB_{1}C_{1}C
, то B_{1}R
— ортогональная проекция наклонной B_{1}P
на эту плоскость. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямая QB
перпендикулярна прямой B_{1}P
.
б) Указанное сечение — прямоугольник A_{1}B_{1}RP
. Его площадь равна
A_{1}B_{1}\cdot A_{1}P=6\cdot\sqrt{9+36}=18\sqrt{5}.