14174. Высота цилиндра равна 9, а радиус основания равен 2. В одном из оснований проведена хорда AB
, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD
, перпендикулярный прямой AB
. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM
, перпендикулярной прямой CD
, причём точка C
и центр основания, содержащего отрезок CD
, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM
равны.
б) Найдите объём пирамиды CABNM
.
Ответ. 12+6\sqrt{3}
.
Решение. а) Плоскость сечения ABNM
перпендикулярна прямой CD
, поэтому отрезки AM
и BN
— образующие цилиндра. Тогда AM\parallel BN
и AM=BN
, значит, ABNM
— параллелограмм. Прямые AM
и BN
перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB
, поэтому параллелограмм ABNM
— прямоугольник. Следовательно, отрезки AN
и BM
равны как диагонали прямоугольника. Что и требовалось доказать.
б) Площадь прямоугольника ABNM
равна 9\cdot2=18
. Пусть H
— точка пересечения отрезков NM
и CD
, O
— центр основания, содержащего отрезок CD
. Из равностороннего треугольника MON
находим, что
OH=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}.
Тогда высота CH
пирамиды равна
CO+OH=2+\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{CABNM}=\frac{1}{3}\cdot18\cdot(2+\sqrt{3})=12+6\sqrt{3}.