14181. Плоскость \alpha
проходит через середину ребра AD
прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярно прямой BD_{1}
.
а) Докажите, что угол между плоскостью \alpha
и плоскостью ABC
равен углу между прямыми BB_{1}
и B_{1}D
.
б) Найдите угол между плоскостью \alpha
и плоскостью ABC
, если объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен 48\sqrt{3}
, AB=2\sqrt{3}
и AD=6
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. а) В прямоугольнике BB_{1}D_{1}D
угол BB_{1}D
равен углу BD_{1}D
. Прямая D_{1}D
перпендикулярна плоскости ABC
. Прямая BD_{1}
перпендикулярна плоскости \alpha
. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми BB_{1}
и B_{1}D
.
б) Объём параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равен AB\cdot AD\cdot AA_{1}=48\sqrt{3}
. Следовательно,
DD_{1}=AA_{1}=\frac{48\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot6}=4.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BD_{1}D
. Его катеты равны
DD_{1}=4,~BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+6^{2}}=4\sqrt{3}.
Следовательно,
\angle BD_{1}D=\arctg\frac{BD}{DD_{1}}=\arctg\frac{4\sqrt{3}}{4}=\arctg\sqrt{3}=60^{\circ}.