14182. В правильной треугольной пирамиде MABC
с вершиной M
боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G
и F
лежат на рёбрах AB
и AC
соответственно, причём AG:GB=AF:FC=1:5
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF
— равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF
.
Ответ. \sqrt{79}
.
Решение. а) Из условия следует, что AG=AF=\frac{1}{6}AC=2
. Треугольники AMG
и AMF
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому MG=NF
.
б) Проведём высоту MH
боковой грани AMB
. Из прямоугольного треугольника AHM
находим, что
MH=\sqrt{AM^{2}-AH^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
В прямоугольном треугольнике MHG
катет HG
равен 6-2=4
. Поэтому
MG=\sqrt{MH^{2}+HG^{2}}=\sqrt{64+16}=4\sqrt{5}.
Треугольник AGF
равносторонний, поэтому GF=AG=2
.
В равнобедренном треугольнике GMF
проведём высоту MK
. Она делит отрезок GF
пополам. Из прямоугольного треугольника MKG
получаем
MK=\sqrt{MG^{2}-GK^{2}}=\sqrt{80-1}=\sqrt{79}.
Следовательно,
S_{\triangle GMF}=\frac{1}{2}GF\cdot MK=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{79}=\sqrt{79}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2019, задача 14