14184. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
все рёбра равны 6. Через точки A
, C_{1}
, и середину T
ребра A_{1}B_{1}
проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы этой плоскостью — прямоугольный треугольник.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC
.
Ответ. \arctg2
.
Решение. а) Поскольку AT
— наклонная к плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
, а AA_{1}
— перпендикуляр к этой плоскости, то A_{1}T
— ортогональная проекция AT
на эту плоскость. Медиана C_{1}T
равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
является его высотой, поэтому A_{1}T\perp C_{1}T
. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах AT\perp C_{1}T
. Следовательно, треугольник ATC_{1}
— сечение призмы, о котором говорится в условии задачи, — прямоугольный с прямым углом при вершине T
. (Это же можно доказать по теореме, обратной теореме Пифагора.)
б) Заменим плоскость ABC
на параллельную ей плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
. Плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
и ATC_{1}
пересекаются по прямой C_{1}T
. Прямые AT
и A_{1}T
, лежащие в этих плоскостях, перпендикулярны прямой C_{1}T
, поэтому линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями, — это угол ATA_{1}
. Из прямоугольного треугольника ATA_{1}
находим, что
\tg\angle ATA_{1}=\frac{AA_{1}}{A_{1}T}=\frac{6}{3}=2.
Следовательно, \angle ATA_{1}=\arctg2
.