14190. Через диагональ прямоугольного параллелепипеда и точку, лежащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ, проведена плоскость так, чтобы площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью была наименьшей. Найдите длины сторон основания параллелепипеда, если известно, что диагонали сечения равны 20 и 8, угол между ними равен 60^{\circ}
.
Ответ. 2\sqrt{5}
, \sqrt{30}
.
Решение. Пусть AC_{1}
— диагональ прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку P
, лежащую на боковом ребре DD_{1}
, пересекает ребро BB_{1}
в точке Q
. Противоположные грани параллелепипеда попарно параллельны, поэтому AQ\parallel PC_{1}
и AP\parallel C_{1}Q
. Значит, сечение APC_{1}Q
— параллелограмм. Его диагонали AC_{1}
и PQ
точкой O
пересечения делятся пополам, поэтому AO=OC_{1}=10
и OP=OQ=4
.
Опустим перпендикуляр DL
на диагональ AC
основания ABCD
. Через точку L
параллельно DD_{1}
проведём прямую до пересечения с диагональю AC_{1}
параллелепипеда в точке K
. Тогда PK
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AC_{1}
и DD_{1}
, значит, PK
— отрезок наименьшей длины, концы которого лежат на этих прямых, а так как точка P
лежит на отрезке DD_{1}
, то высота PK
треугольника APC_{1}
— наименьшая из высот всех треугольников APC_{1}
, проведённых из вершин P
, расположенных на отрезке DD_{1}
. Следовательно, в этом случае площадь сечения APC_{1}Q
, равная удвоенной площади треугольника APC_{1}
, — наименьшая.
Пусть для определённости CD\lt AD
. Тогда CL\lt AL
, а значит, KC_{1}\lt AK
, поэтому точка K
лежит на отрезке OC_{1}
, и \angle POK=60^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника PKO
находим, что
PK=OP\sin60^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},~OK=\frac{1}{2}OP=2.
Тогда
\frac{CL}{LA}=\frac{C_{1}K}{KA}=\frac{OC_{1}-OK}{OA++OK}=\frac{10-2}{10+2}=\frac{2}{3}.
Положим CL=2x
, AL=3x
. Четырёхугольник DLKP
— прямоугольник, поэтому DL=PK=2\sqrt{3}
, а так как DL
— высота прямоугольного треугольника ADC
, проведённая из вершины прямого угла, то DL^{2}=CL\cdot LA
, или 12=6x^{2}
, откуда
x=\sqrt{2},~CL=2x=2\sqrt{2},~LA=3x=3\sqrt{2}.
Следовательно,
CD=\sqrt{CL^{2}+DL^{2}}=\sqrt{8+12}=2\sqrt{5},~AD=\sqrt{LA^{2}+DL^{2}}=\sqrt{18+12}=\sqrt{30}.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016-2017, первый (отборочный) этап, задача 10, вариант 15, 11 класс