14195. Найдите угол между скрещивающимися диагоналями двух боковых граней правильной треугольной призмы, боковое ребро которой вдвое меньше стороны основания.
Ответ. \arccos\frac{1}{5}
.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— правильная треугольная призма с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, причём AA_{1}=a
, AB=2a
. Найдём угол между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
. Для этого отметим середины K
, M
и N
рёбер AB
, BB_{1}
и B_{1}C_{1}
. Тогда KM
и MN
— средние линии треугольников ABB_{1}
и BB_{1}C_{1}
, поэтому KM\parallel AB_{1}
и MN\parallel BC_{1}
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми MK
и MN
.
Пусть P
— ортогональна проекция точки N
плоскость ABC
. Тогда P
— середина ребра BC
, а KP
— средняя линия треугольника ABC
, KP=\frac{1}{2}AC=a
. Из прямоугольного треугольника KPN
находим, что KN=a\sqrt{2}
, а так как
KM=MN=\frac{1}{2}BC_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+4a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
то по теореме косинусов
\cos\angle KMN=\frac{\frac{5a^{2}}{4}+\frac{5a^{2}}{4}-2a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{5}.