14197. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равны. Точка M
— середина стороны BC
основания ABCD
, точка N
— середина бокового ребра SA
. Найдите угол между прямыми SM
и BN
.
Ответ. \arccos\frac{5}{6}
.
Решение. Пусть все рёбра пирамиды равны a
. Отметим середину K
бокового ребра SD
. Отрезок KN
— средняя линия треугольника ASD
, поэтому NK=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=BM
и NK\parallel AD\parallel BM
. Значит, BMKN
— параллелограмм. Тогда MK\parallel BN
, следовательно, угол между скрещивающимися прямыми SM
и BN
равен углу между пересекающимися прямыми SM
и MK
, т. е. углу при вершине M
треугольника SMK
со сторонами MK=SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}
и SK=\frac{a}{2}
. По теореме косинусов
\cos\angle SMK=\frac{\frac{3}{4}a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{6}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — пример 4, с. 16