14199. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Её боковое ребро AA_{1}
относится к стороне основания как 3:2
. Найдите угол между плоскостью основания ABC
и плоскостью A_{1}BC_{1}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому угол между плоскостями ABC
и A_{1}BC_{1}
равен углу между плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{1}BC_{1}
, которые пересекаются по прямой A_{1}C_{1}
.
Пусть M
— середина ребра A_{1}C_{1}
. Тогда B_{1}M\perp A_{1}C_{1}
и BM\perp A_{1}C_{1}
. Значит, BMB_{1}
— линейный угол искомого двугранного угла.
Положим BB_{1}=AA_{1}=3a
, A_{1}B_{1}=AB=2a
. Тогда
B_{1}M=\frac{A_{1}B_{1}\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.
Значит,
\tg\angle BMB_{1}=\frac{BB_{1}}{B_{1}M}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle BMB_{1}=60^{\circ}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — пример 1, с. 22