14203. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в котором AB=5
, BC=6
, AA_{1}=6\sqrt{3}
. Найдите расстояние от вершины C
до диагонали DB_{1}
параллелепипеда.
Ответ. \frac{60}{13}
.
Решение. Прямая DC
перпендикулярна плоскости BCC_{1}B_{1}
, значит, DC\perp CB_{1}
. Из прямоугольных треугольников CC_{1}B_{1}
и DCB_{1}
находим, что
CB_{1}=\sqrt{36+108}=12,~DB_{1}=\sqrt{144+25}=13.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки C
на прямую DB_{1}
. Тогда CH
— высота прямоугольного треугольника DCB_{1}
, опущенная на гипотенузу. Следовательно,
CH=\frac{CD\cdot CB_{1}}{DB_{1}}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — пример 1, с. 30