14205. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
апофема равна стороне основания. Найдите угол между плоскостью CSD
и апофемой пирамиды, содержащейся в плоскости ASB
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Проведём высоту MH
равнобедренного треугольника MSN
. Прямая MH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN
и CD
плоскости CSD
, значит, MH
— перпендикуляр к этой плоскости, SH
— ортогональная проекция наклонной MS
на плоскость CSD
, а MSN
— угол наклонной MS
с этой плоскостью. Поскольку MN=MS=NS
, треугольник MSN
равносторонний. Следовательно, \angle MSN=60^{\circ}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — пример 1, с. 40