14206. Шар касается всех граней правильной треугольной призмы. Найдите отношение объёмов шара и призмы.
Ответ. 2\pi:9\sqrt{3}
.
Решение. Пусть O
— центр шара радиуса R
, вписанного в правильную треугольную призму ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, M
и M_{1}
— точки касания шара с основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно, а D
, E
и F
— с боковыми гранями. Тогда M
и M_{1}
— центры равносторонних треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, а D
, E
и F
— центры прямоугольников AA_{1}B_{1}B
, BB_{1}C_{1}C
и AA_{1}C_{1}C
соответственно.
В сечении призмы плоскостью, проходящей через центр шара параллельно основаниям, получится равносторонний треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
, равный треугольникам ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, и вписанный в него круг радиуса R
, касающийся сторон A_{2}B_{2}
, B_{2}C_{2}
и A_{2}C_{2}
в точках D
, E
и F
соответственно. Центр O
шара лежит на отрезке MM_{1}
и делит его пополам, значит, AA_{1}=MM_{1}=2R
. Точка O
лежит на высоте треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
и делит её в отношении 2:1
, считая от C_{2}
, значит, C_{2}D=3OD=3R
.
Из прямоугольного треугольника OA_{2}D
находим, что A_{2}D=OD\ctg30^{\circ}=R\sqrt{3}
. Значит,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_{2}B_{2}C_{2}}=\frac{1}{2}A_{2}B_{2}\cdot C_{2}D=R\sqrt{3}\cdot3R=3R^{2}\sqrt{3}.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы шара и призмы соответственно. Тогда
V_{1}=\frac{4}{3}\pi R^{3},~V_{2}=S_{\triangle ABC}\cdot AA_{1}=3R^{2}\sqrt{3}\cdot2R=6R^{3}\sqrt{3}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{6R^{3}\sqrt{3}}=\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.