14211. Боковые ребра TA
, TB
и TC
тетраэдра TABC
попарно перпендикулярны, ребро TA
наклонено к плоскости основания ABC
под углом 30^{\circ}
. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, косинус угла AHB
равен -\frac{1}{3}
. Найдите угол между ребром TC
и плоскостью ABC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Прямая AT
перпендикулярна пересекающимся прямым TB
и TC
плоскости BTC
, поэтому прямая AT
перпендикулярна этой плоскости. Значит, AT\perp BC
. Аналогично, BT\perp AC
и CT\perp AB
. Пусть TH_{1}
— высота тетраэдра. По теореме о трёх перпендикулярах AH_{1}\perp BC
и BH_{1}\perp AC
. Значит, точка H_{1}
совпадает с точкой H
пересечения высот треугольника ABC
, а углы боковых рёбер TA
, TB
и CT
с плоскостью ABC
— это углы TAH
, TBH
и TCH
. Обозначим их через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, \alpha=30^{\circ}
, а угол AHB
обозначим через \varphi
, \cos\varphi=-\frac{1}{3}
(тогда \sin\varphi=\frac{2\sqrt{2}}{3}
).
Пусть CD
— высота треугольника ABC
. Поскольку CT
— перпендикуляр к плоскости ATB
, треугольник CTD
прямоугольный с прямым углом при вершине T
и острым углом \gamma
при вершине C
. Значит,
\frac{S_{\triangle AHB}}{S_{\triangle ATB}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot HD}{\frac{1}{2}AB\cdot TD}=\frac{HD}{EB}=\sin\angle DTH=\sin\gamma,~S_{\triangle AHB}=S_{\triangle ATB}\sin\gamma.
С другой стороны,
S_{\triangle AHB}=\frac{1}{2}HA\cdot HB\sin\varphi,~S_{\triangle ATB}=\frac{1}{2}TA\cdot TB,
поэтому
\frac{1}{2}HA\cdot HB\sin\varphi=\frac{1}{2}TA\cdot TB\sin\gamma,~
откуда
TA\cos\alpha\cdot TB\cos\beta\cdot\sin\varphi=TA\cdot TB\sin\gamma,~\mbox{или}~\cos\alpha\cos\beta\sin\varphi=\sin\gamma.
По теореме косинусов
-\frac{1}{3}=\cos\varphi=\frac{HA^{2}+HB^{2}-AB^{2}}{2HA\cdot HB}=\frac{(TA^{2}-TH^{2})+(TB^{2}-TH^{2})-AB^{2}}{2HA\cdot HB}=
=\frac{(TA^{2}+TB^{2}-AB^{2})-2TH^{2}}{2HA\cdot HB}=\frac{-2TH^{2}}{2HA\cdot HB}=
=-\frac{TH}{HA}\cdot\frac{TH}{HB}=-\tg\alpha\tg\beta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\tg\beta,
откуда
\tg\beta=\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\beta=30^{\circ}.
Следовательно,
\sin\gamma=\cos\alpha\cos\beta\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2},~\gamma=45^{\circ}.