14214. Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD
, касается граней BCD
, CAD
и ABD
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Известно, что \angle BA_{1}D=115^{\circ}
, \angle CB_{1}D=130^{\circ}
. Найдите \angle AC_{1}D
. Ответ дайте в градусах.
Ответ. 115.
Решение. Пусть D_{1}
— точка касания сферы и грани ABC
и \angle AC_{1}D=\varphi
. Заметим, что треугольники BA_{1}D
и BC_{1}D
равны по трём сторонам (BA_{1}=BC_{1}
как отрезки касательных к сфере, проведённых из точки B
, DA_{1}=DC_{1}
как отрезки касательных к сфере, проведённых из точки D
, BD
— общая сторона). Следовательно,
\angle BA_{1}D=\angle BC_{1}D=115^{\circ}.
Аналогично равны углы, под которыми видно любое ребро тетраэдра из точек касания прилегающих к нему граней. В частности,
\angle CB_{1}D=\angle CA_{1}D=130^{\circ}~\mbox{и}~\angle AC_{1}D=\angle AB_{1}D=\varphi.
Кроме того, верны соотношения
\angle BA_{1}D+\angle DA_{1}C+\angle CA_{1}B=360^{\circ},~
\angle BC_{1}D+\angle DC_{1}A+\angle AC_{1}B=360^{\circ},
\angle CB_{1}D+\angle DB_{1}A+\angle AB_{1}C=360^{\circ},
из которых заключаем, что
\angle CD_{1}B=\angle CA_{1}B=360^{\circ}-115^{\circ}-130^{\circ}=115^{\circ},~
\angle BD_{1}A=\angle BC_{1}A=360^{\circ}-115^{\circ}-\varphi=245^{\circ}-\varphi,
\angle AD_{1}B=\angle AC_{1}B=360^{\circ}-130^{\circ}-\varphi=230^{\circ}-\varphi.
Осталось сложить три полученных равенства и получить уравнение
360^{\circ}=115^{\circ}+245^{\circ}-\varphi+230^{\circ}-\varphi,
из которого следует ответ