14216. Тетраэдр ABCD
таков, что \angle BAD=60^{\circ}
, \angle BAC=40^{\circ}
, \angle ABD=80^{\circ}
, и угол между рёбрами AB
и CD
равен 90^{\circ}
. Найдите \angle ABC
. Ответ выразите в градусах.
Ответ. 70.
Решение. Проведём высоту DH
треугольника ABD
. Заметим, что прямая AB
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD
и DH
плоскости CDH
, поэтому прямая AB
перпендикулярна этой плоскости. Тогда CH\perp AB
, значит, CH
— тоже высота треугольника ABC
. Получаем
\frac{\tg\angle DBA}{\tg\angle BAD}=\frac{DH\ctg\angle DAB}{DH\ctg\angle DBA}=\frac{AH}{HB}=\frac{CH\ctg\angle CAB}{CH\ctg\angle CBA}=\frac{\tg\angle ABC}{\tg\angle BAC},
откуда
\tg\angle ABC=\frac{\tg\angle DBA\tg\angle BAC}{\tg\angle BAD}=\frac{\tg80^{\circ}\tg40^{\circ}}{\tg60^{\circ}}=
=\frac{\tg(60^{\circ}+20^{\circ})\tg(60^{\circ}-20^{\circ})}{\tg60^{\circ}}=\frac{\sin(60^{\circ}+20^{\circ})\sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\cos(60^{\circ}+20^{\circ})\cos(60^{\circ}-20^{\circ})\tg(20^{\circ}+40^{\circ})}
=\frac{(\sin60^{\circ}\cos20^{\circ}+\sin20^{\circ}\cos60^{\circ})(\sin60^{\circ}\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ}\cos60^{\circ})}{(\cos60^{\circ}\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ}\sin60^{\circ})(\cos60^{\circ}\cos20^{\circ}+\sin20^{\circ}\sin60^{\circ})}\cdot\frac{1-\tg20^{\circ}\tg40^{\circ}}{\tg20^{\circ}+\tg40^{\circ}}=
=\frac{\sin^{2}60^{\circ}\cos^{2}20^{\circ}-\sin^{2}20^{\circ}\cos^{2}60^{\circ}}{\cos^{2}60^{\circ}\cos^{2}20^{\circ}-\sin^{2}20^{\circ}\sin^{2}60^{\circ}}\cdot\frac{1-\tg20^{\circ}\cdot\frac{2\tg20^{\circ}}{1-\tg^{2}20^{\circ}}}{\tg20^{\circ}+\frac{2\tg20^{\circ}}{1-\tg^{2}20^{\circ}}}=
=\frac{\frac{3}{4}\cos^{2}20^{\circ}-\frac{1}{4}\sin^{2}20^{\circ}}{\frac{1}{4}\cos^{2}20^{\circ}-\frac{3}{4}\sin^{2}20^{\circ}}\cdot\frac{1-3\tg^{2}20^{\circ}}{3\tg20^{\circ}-\tg^{3}20^{\circ}}=
=\frac{3-\tg^{2}20^{\circ}}{1-3\tg^{2}20^{\circ}}\cdot\frac{1-3\tg^{2}20^{\circ}}{\tg20^{\circ}(3-\tg^{2}20^{\circ})}=\frac{1}{\tg20^{\circ}}=\ctg20^{\circ}=\tg(90^{\circ}-70^{\circ})=\tg70^{\circ}.
Поскольку \tg\angle ABC=\tg70^{\circ}\gt0
, угол ABC
острый, следовательно, \angle ABC=70^{\circ}
.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2016-2017, отборочный этап, задача 6, 10-11 класс
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2016-2017, отборочный этап, задача 6, 10-11 классы