14217. Докажите, что сумма косинусов двугранных углов равногранного тетраэдра при трёх рёбрах, исходящих из одной вершины (или, что то же самое, при трёх рёбрах одной грани), равна 1.
Решение. Пусть двугранные углы при рёбрах DA
, DB
и DC
равногранного тетраэдра ABCD
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а площади граней равны S
. По теореме косинусов для тетраэдра (см. задачу 8094)
S^{2}=S^{2}+S^{2}+S^{2}-2S^{2}(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma),
откуда
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1.
Что и требовалось доказать.
G!KEY 1