14219. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D'
равны рёбра AD
и AA'
. На отрезке A'C'
нашлась точка K
, для которой BK=AD'
и прямая BK
образует с прямыми AD'
и CD'
равные углы. Найдите острый угол между прямыми BK
и AC
(в градусах).
Ответ. 72^{\circ}
Решение. Поскольку BC'\parallel AD'
и BA'\parallel CD'
, прямая BK
образует равные углы с прямыми BC'
и BA'
. Значит, BK
— биссектриса треугольника A'BC'
.
Из условия следует, что грани AA'D'D
и BB'C'B
— равные квадраты, а A'B'C'D'
и AA'B'B
— равные прямоугольники, поэтому BK=AD'=BC'
и A'C'=BA'
. Значит, треугольники A'BC'
и KBC'
равнобедренные с основаниями BC'
и KC'
соответственно.
Обозначим \angle KBA'=\angle KBC'=\alpha
. Тогда
\angle BC'A'=\angle A'BC'=2\alpha,~\angle BA'C=\angle BA'K=\angle KBA'=\alpha.
Сумма углов треугольника A'BC'
равна 180^{\circ}
, т. е.
2\alpha+2\alpha+\alpha=5\alpha=180^{\circ},
откуда \alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle BKC'=\angle BC'A'=2\alpha=72^{\circ},
а это и есть острый угол между прямыми BK
и AC
.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2013-2014, отборочный этап, задача 4, 10-11 класс