14220. Три грани трёхгранного угла с взаимно перпендикулярными рёбрами пересекают шар по трём кругам. Докажите, что сумма площадей этих кругов не изменится, если повернуть этот трёхгранный угол вокруг его вершины так, чтобы его грани не перестали пересекать шар.
Решение. Пусть радиус шара с центром O
равен R
, а P
— вершина данного трёхгранного угла. Площадь круга-пересечения шара и плоскости равна \pi(R^{2}-d^{2})
, где d
— расстояние от точки O
до плоскости сечения. Следовательно, сумма площадей из условия задачи равна
S=\pi(R^{2}-d_{1}^{2})+\pi(R^{2}-d_{2}^{2})+\pi(R^{2}-d_{3}^{2})=\pi(R^{2}-d_{1}^{2}+R^{2}-d_{2}^{2}+R^{2}-d_{3}^{2}),
где d_{1}
, d_{2}
, d_{3}
— расстояния от точки O
до граней трёхгранного угла. Поскольку рёбра этого трёхгранного угла попарно перпендикулярны, то сумма квадратов этих расстояний равна квадрату расстояния OP
(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений), поэтому S=\pi(3R^{2}-OP^{2})
, что не зависит от поворота трёхгранного угла.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1934, третий тур, задача 5(б), 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2020, № 7, с. 20