14239. Докажите, что в произвольной треугольной пирамиде найдётся такая вершина, что из трёх рёбер, выходящих из неё, можно составить треугольник.
Решение. Предположим, что в некоторой пирамиде такой вершины нет. Выберем в пирамиде ребро максимальной длины a
. Пусть с одного конца к нему примыкают рёбра, равные b
и c
, с другого — рёбра, равные d
и e
. По предположению c+b\leqslant a
и e+d\leqslant a
. С другой стороны, рёбра d
, b
, a
, и e
, c
, a
образуют треугольники — грани пирамиды, поэтому d+b\gt a
и e+c\gt a
. Складывая два первых неравенства, получим
e+d+c+b\leqslant2a,
складывая два последних неравенства, получим
e+d+c+b\gt2a
— противоречие.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009-2010, первый этап, задача 4, 11 класс