1424. Отрезок, соединяющий вершину A
треугольника ABC
с центром Q
вневписанной окружности, касающейся стороны BC
, пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке D
. Докажите, что треугольник BDQ
— равнобедренный.
Указание. Выразите углы треугольника BDQ
через углы треугольника ABC
.
Решение. Обозначим углы A
, B
, C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно. Поскольку луч BD
— биссектриса внешнего угла B
данного треугольника, то
\angle CBQ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Тогда
\angle DBQ=\angle CBQ-\angle CBD=\angle CBQ-\angle CAD=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}=\frac{\gamma}{2}.
С другой стороны, ADB
— внешний угол треугольника BDQ
и \angle ADB=\angle ACB=\gamma
, поэтому
\angle BQD=\angle ADB-\angle DBQ=\gamma-\frac{\gamma}{2}=\frac{\gamma}{2}=\angle DBQ.
Следовательно, треугольник BDQ
— равнобедренный.