14242. Основание ABC
пирамиды SABC
— равносторонний треугольник. Высота пирамиды проходит через точку A
и равна стороне основания. Найдите углы между противоположными рёбрами пирамиды.
Ответ. 90^{\circ}
, \arccos\frac{\sqrt{2}}{4}
, \arccos\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Прямая SA
перпендикулярна плоскости ABC
, содержащей прямую BC
, значит, прямая SA
перпендикулярна BC
, т. е. угол между этими прямыми равен 90^{\circ}
.
Обозначим SA=AB=a
. Пусть K
, L
и M
— середины рёбер SA
, AB
и BC
соответственно. Тогда KL
и LM
— средние линии треугольников ASB
и ABC
, поэтому KL\parallel SB
и LM\parallel AC
. Значит, угол между прямыми SB
и AC
равен углу между соответственно параллельными им пересекающимися прямыми KL
и LM
. Кроме того,
KL=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{2}}{2},~LM=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.
Из прямоугольного треугольника KAM
находим, что
KM=\sqrt{AK^{2}+AM^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}}=a.
По теореме косинусов
\cos\angle KLM=\frac{KL^{2}+LM^{2}-KM^{2}}{2KL\cdot LM}=\frac{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{4}-a^{2}}{2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{a}{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}.
Следовательно, угол между прямыми AC
и SB
равен \arccos\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Поскольку пирамида симметрична относительно плоскости SAM
, угол между прямыми AB
и SC
тоже равен \arccos\frac{\sqrt{2}}{4}
.