14245. Рассматриваются всевозможные правильные треугольные пирамиды, все боковые рёбра которых и плоскость основания касаются шара радиуса r
. Найдите высоту такой пирамиды с наименьшим объёмом.
Ответ. 4r
.
Решение. Пусть ABCD
— правильная треугольная пирамида с вершиной D
, а шар, о котором говорится в условии, касается плоскости ABC
и всех боковых рёбер. Тогда точка касания с плоскостью ABC
— основание H
высоты пирамиды, а центр O
шара лежит на высоте DH
. Пусть K
— точка касания с боковым ребром CD
. Обозначим AB=a
, \angle OCH=\angle OCK=\alpha
. Из прямоугольных треугольников COH
и CDH
получаем
\tg\alpha=\frac{OH}{CH}=\frac{r}{\frac{a}{\sqrt{3}}}=\frac{r\sqrt{3}}{a},~
DH=CH\tg2\alpha=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2\cdot\frac{r\sqrt{3}}{a}}{1-\frac{3r^{2}}{a^{2}}}=\frac{2a^{2}r}{a^{2}-3r^{2}}.
Значит,
V_{ABCD}=V(a)=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2a^{2}r}{a^{2}-3r^{2}}=\frac{r\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{a^{4}}{a^{2}-3r^{2}}.
Найдём a
, при котором функция V(a)
принимает наименьшее значение на луче (r\sqrt{3};+\infty)
:
V'(a)=\frac{r\sqrt{3}}{6}\cdot\frac{4a^{3}(a^{2}-3r^{2})-a^{4}\cdot2a}{(a^{2}-3r^{2})^{2}}=\frac{r\sqrt{3}}{(a^{2}-3r^{2})^{2}}\cdot a^{3}(a^{2}-6r^{2});
на промежутке (r\sqrt{3};r\sqrt{6})
производная функции V(a)
отрицательна, а на промежутке (r\sqrt{6};+\infty)
— положительна, значит, минимальное значение функции на луче (4\sqrt{3};+\infty)
достигается при a=r\sqrt{6}
.
При этом
DH=\frac{2a^{2}r}{a^{2}-3r^{2}}=\frac{2\cdot6r^{3}}{6r^{2}-3r^{2}}=4r.