14247. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Точка P
— середина ребра AA_{1}
, точка Q
— середина ребра CD
, точка R
— середина ребра B_{1}C_{1}
. Докажите, что \angle PB_{1}Q\lt\angle PRQ
.
Решение. Пусть ребро куба равно 2a
. По теореме Пифагора
PB_{1}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{5},~QB_{1}=\sqrt{4a^{2}+4a^{2}+a^{2}}=3a,
PR=RQ=PQ=\sqrt{4a^{2}+a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{6}.
Тогда треугольник PQR
равносторонний, поэтому \angle PRQ=60^{\circ}
. По теореме косинусов
\cos\angle PB_{1}Q=\frac{PB_{1}^{2}+QB_{1}^{2}-PQ^{2}}{2PB_{1}\cdot QB_{1}}=\frac{5a^{2}+9a^{2}-6a^{2}}{2\cdot a\sqrt{5}\cdot3a}=\frac{8}{6\sqrt{5}}=\frac{4}{3\sqrt{5}}\gt\frac{1}{2},
так как 64\gt45
. Тогда
\cos\angle PB_{1}Q\gt\cos60^{\circ}=\cos\angle PRQ.
Следовательно, \angle PB_{1}Q\lt\angle PRQ
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2019-2020, XLVI, школьный этап, задача 5, 11 класс