1425. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Пусть l
, l_{1}
и l_{2}
— соответствующие линейные элементы подобных треугольников ABC
, ACD
и CBD
. Докажите, что
l_{1}^{2}+l_{2}^{2}=l^{2}.
Решение. Из подобия треугольников ACD
и ABC
находим, что \frac{l_{1}}{l}=\frac{AC}{AB}
, а из подобия треугольников CBD
и ABC
— \frac{l_{2}}{l}=\frac{BC}{AB}
. Тогда
\frac{l_{1}^{2}}{l^{2}}=\frac{AC^{2}}{AB^{2}},~\frac{l_{2}^{2}}{l^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}}.
Сложив эти равенства, получим, что
\frac{l^{2}_{1}}{l^{2}}+\frac{l^{2}_{2}}{l^{2}}=\frac{AC^{2}}{AB^{2}}+\frac{BC^{2}}{AB^{2}}=\frac{AC^{2}+BC^{2}}{AB^{2}}=\frac{AB^{2}}{AB^{2}}=1.
Следовательно, l_{1}^{2}+l_{2}^{2}=l^{2}
.
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 165, с. 195
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.12(б), с. 103