14257. Боковые грани правильной пирамиды ABCD
с вершиной D
— прямоугольные треугольники. Точка K
— середина ребра AD
. Найдите: а) угол между прямыми CD
и BK
; б) расстояние между прямыми AB
и CD
, если сторона основания пирамиды равна 8.
Ответ. 90^{\circ}
, 4.
Решение. а) Прямая CD
перпендикулярна плоскости ADB
, так как эта прямая перпендикулярна пересекающимся прямым AD
и BD
плоскости ADB
. Следовательно, CD\perp BK
, т. е. угол между прямыми CD
и BK
равен 90^{\circ}
.
б) Пусть M
— середина ребра AB
. Тогда DM
— медиана равнобедренного прямоугольного треугольника ADB
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, DM\perp AB
и DM=\frac{1}{2}AB=4
, а так как CD
— перпендикуляр к плоскости ADB
, то DM\perp CD
. Следовательно, отрезок DM
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB
и CD
, а расстояние между этими прямыми равно его длине, т. е. 4.