14258. Боковые грани правильной пирамиды ABCD
с вершиной D
— прямоугольные треугольники. Точка M
— середина ребра CD
. Найдите: а) угол между прямыми AM
и BD
; б) расстояние между прямыми BD
и AC
, если сторона основания пирамиды равна 12.
Ответ. 90^{\circ}
, 6.
Решение. а) Прямая BD
перпендикулярна плоскости ADC
, так как эта прямая перпендикулярна пересекающимся прямым CD
и AD
плоскости ADC
. Следовательно, BD\perp AM
, т. е. угол между прямыми AM
и BD
равен 90^{\circ}
.
б) Пусть L
— середина ребра AC
. Тогда DL
— медиана равнобедренного прямоугольного треугольника ADC
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, DL\perp AC
и DL=\frac{1}{2}AC=6
, а так как BD
— перпендикуляр к плоскости ADC
, то DL\perp BD
. Следовательно, отрезок DL
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD
и AC
, а расстояние между этими прямыми равно его длине, т. е. 6.