14264. Точки M
и N
— середины рёбер AC
и DC
правильного тетраэдра ABCD
, O
— центр грани ABC
. Найдите угол и расстояние между прямыми MN
и DO
, если ребро тетраэдра равно 1. В каком отношении общий перпендикуляр прямых MN
и DO
делит отрезки MN
и DO
?
Ответ. \arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}
; \frac{1}{4}
; 1:1
; 3:1
, считая от точки D
.
Решение. 1. Пусть L
— середина отрезка OC
. Тогда NL
— средняя линия треугольника COD
, поэтому NL\parallel DO
, а NL
(как и DO
) — перпендикуляр к плоскости ABC
. Угол \varphi
между скрещивающимися прямыми MN
и DO
равен углу между пересекающимися прямыми MN
и NL
, т. е. острому углу MNL
прямоугольного треугольника NLM
с катетом
NL=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}
и гипотенузой
MN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}.
Значит,
\sin\varphi=\frac{NL}{MN}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Следовательно, \varphi=\arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}
.
2. Плоскость ABC
перпендикулярна прямой DO
, а прямая ML
— ортогональная проекция наклонной NM
на эту плоскость, значит, расстояние d
между прямыми MN
и DO
равно расстоянию от точки O
до прямой ML
(см. задачу 8406). Пусть K
— середина BC
, OP
— перпендикуляр к ML
, а луч MP
пересекает ребро BC
в точке Q
. Тогда Q
— середина отрезка CK
, а KOPQ
— прямоугольник. Следовательно,
d=OP=KQ=\frac{1}{2}CK=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}.
3. По теореме Фалеса прямая, проведённая через точку O
параллельно NL
, пересекает отрезок MN
в его середине X
. Отметим на высоте DO
тетраэдра точку Y
, для которой OY=PX
. Тогда OPXY
— прямоугольник, поэтому XY\parallel OP
. Значит, XY\perp MN
и XY\perp DO
, т. е. XY
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых MN
и DO
. При этом X
— середина отрезка MN
, а точка Y
такова, что
OY=PX=\frac{1}{2}NL=\frac{1}{4}DO.
Следовательно, MX:XN=1:1
и DY:YO=3:1
.