14266. Боковые грани правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
— прямоугольные треугольники. Точка M
— середина ребра CD
. В каком отношении общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AM
и BD
делит отрезок AM
?
Ответ. 4:1
, считая от точки A
.
Решение. Заметим, что боковые грани данной пирамиды — прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине D
.
Пусть DP
— высота прямоугольного треугольника ADM
. Прямая BD
перпендикулярна плоскости ADC
, так как эта прямая перпендикулярна пересекающимся прямым DA
и DC
плоскости ADC
. Значит, DP\perp DB
, поэтому DP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AM
и BD
. Отрезок DP
— высота прямоугольного треугольника ADM
, проведённая из вершины прямого угла, следовательно (см. задачу 1946),
AP:PM=DA^{2}:DM^{2}=DA^{2}:\left(\frac{1}{2}DC\right)^{2}=DA^{2}:\left(\frac{1}{2}DA\right)^{2}=4:1.