14269. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в котором AB=AD=13
, AA_{1}=16
. Точка Q
лежит на диагонали BD
основания ABCD
. Внутри параллелепипеда расположены два касающихся друг друга шара разных радиусов. Центр меньшего шара лежит на отрезке B_{1}Q
. Шары касаются некоторых граней параллелепипеда так, что суммарное число точек касания граней данными шарами равно восьми; при этом больший шар касается грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а меньший — грани ABB_{1}A_{1}
.
а) Каких ещё граней касается каждый шар?
б) Найдите отношение \frac{BQ}{BD}
и радиус меньшего шара.
Ответ. а) Меньший шар касается граней ABCD
, ABB_{1}A_{1}
и BCC_{1}B_{1}
; больший шар касается граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, ABB_{1}A_{1}
, BCC_{1}B_{1}
, CDD_{1}C_{1}
и AA_{1}D_{1}D
.
б) r=\frac{5}{2}
; \frac{BQ}{BD}=\frac{80}{351}
.
Решение. а) Пусть \Omega
и \omega
— больший и меньший шары соответственно (рис. 1). Данный параллелепипед симметричен относительно плоскости BB_{1}D_{1}D
, а прямая B_{1}Q
лежит в этой плоскости. Центр шара \omega
лежит на B_{1}Q
(значит, и плоскости BB_{1}D_{1}D
), и шар \omega
касается грани AA_{1}B_{1}B
, поэтому шар \omega
касается симметрично плоскости BB_{1}C_{1}C
.
Отсюда следует, что этот шар не может касаться граней AA_{1}D_{1}D
и CC_{1}D_{1}D
. (Если бы этот шар касался одной из этих граней, то из симметрии он касался бы и другой, и тогда он касался бы всех четырёх граней параллелепипеда. Это означало бы, что радиус шара \omega
максимально возможный для шара, расположенного внутри параллелепипеда, а это противоречит условию, так как есть ещё шар \Omega
большего радиуса.)
Кроме того, шар \omega
не может касаться грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, так как расстояние от любой точки отрезка B_{1}Q
до этой грани больше расстояния до грани ABB_{1}A_{1}
. Действительно, расстояние от точки Q
до грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равно 16, а расстояние от Q
до грани ABB_{1}A_{1}
не превосходит стороны основания, т. е. 13. При этом, для произвольной точки отрезка B_{1}Q
до указанных граней меняется пропорционально.
Следовательно, шар \omega
касается грани ABCD
, так как иначе шар \omega
касался бы только двух граней, а тогда шар \Omega
касался бы всех шести граней параллелепипеда, что невозможно.
Тогда шар \Omega
касается ровно пяти граней параллелепипеда: всех боковых граней и основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а его радиус равен половине стороны основания, т. е. R=\frac{13}{2}
.
б) Рассмотрим сечение данного параллелепипеда плоскостью BB_{1}D_{1}D
(рис. 2). Пусть O
и P
— центры окружностей сечений этой плоскостью шаров \Omega
радиуса R
и \omega
радиуса r
, K
— точка касания большей окружности с отрезком B_{1}D_{1}
(т. е. шара \Omega
с гранью A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
), T
— точка касания меньшей окружности с отрезком BD
(т. е. шара \omega
с гранью ABCD
), H
и F
— проекции точек соответственно O
и P
на ребро BB_{1}
, E
— точка пересечения прямых PF
и KO
.
Линия центров касающихся шаров проходит через их точку касания, поэтому OP=R+r
, а так как OH=R\sqrt{2}
и FP=r\sqrt{2}
, то
PE=FE-FP=OH-FP=R\sqrt{2}-r\sqrt{2}=(R-r)\sqrt{2}.
По теореме Пифагора, учитывая что R=\frac{13}{2}
, получим
HF=OE=\sqrt{OP^{2}-PE^{2}}=\sqrt{(R+r)^{2}-2(R-r)^{2}}=
=\sqrt{6rR-r^{2}-R^{2}}=\sqrt{39r-r^{2}-\frac{169}{4}}.
Тогда
16=BB_{1}=BF+FH+HB_{1}=r+\sqrt{39r-r^{2}-\frac{169}{4}}+R,~\mbox{или}
\sqrt{39r-r^{2}-\frac{169}{4}}=\frac{19}{2}-r.
После возведения в квадрат и очевидных упрощений получим квадратное уравнение
2r^{2}-58r+\frac{265}{2}=0,
а так как r\leqslant\frac{19}{2}
, то условию задачи удовлетворяет только корень r=\frac{5}{2}
.
Из подобия прямоугольных треугольников PQT
и B_{1}QB
получаем
\frac{BQ}{TQ}=\frac{BB_{1}}{PT}=\frac{BB_{1}}{r}=\frac{16}{\frac{5}{2}}=\frac{32}{5},
а так как
BQ=BT+TQ=r\sqrt{2}+TQ=\frac{5}{2}\cdot\sqrt{2}+TQ=\frac{5}{\sqrt{2}}+TQ
то
\frac{BQ}{TQ}=\frac{5}{TQ\sqrt{2}}+1.
Из равенства
\frac{5}{TQ\sqrt{2}}+1=\frac{32}{13}
находим, что TQ=\frac{25}{27\sqrt{2}}
. Тогда
BQ=TQ\cdot\frac{32}{5}=\frac{25}{27\sqrt{2}}\cdot\frac{32}{5}=\frac{160}{27\sqrt{2}}=\frac{80\sqrt{2}}{27},
а так как BD=13\sqrt{2}
, то
\frac{BQ}{BD}=\frac{\frac{80\sqrt{2}}{27}}{13\sqrt{2}}=\frac{80}{351}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2021, задача 3, вариант 1, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2021, № 11-12, с. 31