14270. Рассмотрим всевозможные тетраэдры ABCD
, в которых AB=2
, AC=CB=5
, AD=DB=6
. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро CD
было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина CD
в таком тетраэдре?
Ответ. \sqrt{34}\pm\sqrt{23}
.
Решение. Пусть E
— середина AB
. Тогда CE
и DE
— медианы равнобедренных треугольников ABC
и ABD
, а значит, биссектрисы и высоты этих треугольников. Поскольку AB\perp CE
и AB\perp DE
, отрезок AB
перпендикулярен плоскости CDE
, а значит, лежит в плоскости \alpha
, перпендикулярной оси цилиндра.
Сечение цилиндра этой плоскостью — окружность, а AB
— хорда этой окружности. Из теоремы синусов следует, что радиус окружности минимален, если AB
— её диаметр. Это возможно, так как отрезки DE=\sqrt{35}
и CE=\sqrt{24}
больше, чем радиус этой окружности, равный \frac{1}{2}AB=1
. Рассмотрим тетраэдр, в котором AB
— диаметр цилиндра.
Пусть H
— проекция точек C
и D
. Тогда точка H
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AHB=90^{\circ}
, а так как прямоугольные треугольники ACH
равны по катету и гипотенузе, то AH=BH
. Значит, AH=BH=\sqrt{2}
. Тогда по теореме Пифагора
CH=\sqrt{CB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{25-2}=\sqrt{23},
DH=\sqrt{DB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{36-2}=\sqrt{34}.
Следовательно, если точки C
и D
лежат по одну сторону от плоскости \alpha
, то
CD=DH-CH=\sqrt{34}-\sqrt{23}.
Если же точки C
и D
лежат по разные стороны от плоскости \alpha
, то
CD=DH+CH=\sqrt{34}+\sqrt{23}.