14281. Все грани тетраэдра — прямоугольные треугольники. Известно, что три его ребра равны s
. Найдите объём тетраэдра.
Ответ. \frac{s^{3}}{6}
.
Решение. Три равных ребра не могут принадлежать одной грани, так как тогда эта грань — равносторонний треугольник со стороной s
. Три равных ребра не могут сходиться в одной вершине, так как тогда грань, противоположная этой вершине, — равносторонний треугольник со сторонами s\sqrt{2}
.
Пусть ABCD
— данный тетраэдр, в котором AB=BC=CD=s
(все остальные возможные случаи аналогичны этому). Углы ABC
и BCD
должны быть прямыми, а AC=BD=s\sqrt{2}
.
Пусть \angle ADC=90^{\circ}
. Тогда по теореме Пифагора из треугольника ACD
находим, что AD=s
, а по теореме, обратной теореме Пифагора, получим, что \angle DAB=90^{\circ}
. Это значит, что у четырёхугольника ABCD
четыре прямых угла. Это возможно только в случае, когда точки A
, B
, C
и D
лежат в одной плоскости (иначе у скрещивающихся прямых AB
и CD
было бы два общих перпендикуляра — AD
и BC
, что невозможно).
Таким образом, угол ADC
не может быть прямым, а так как мы уже знаем, что AC=s\sqrt{2}\gt s=CD
, то и угол CAD
не может быть прямым. Значит, прямой угол в грани ACD
— это угол ACD
. Следовательно, DC
— высота тетраэдра. Осталось проверить, что треугольник ABD
прямоугольный и вычислить объём V
тетраэдра.
По теореме Пифагора AD=s\sqrt{3}
, а из теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что \angle ABD=90^{\circ}
, т. е. треугольник ABD
тоже прямоугольный.
Наконец,
V=\frac{1}{3}S_{\triangle}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot CD\cdot AB=\frac{1}{6}s^{3}.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2013, задача 14