14286. Основание четырёхугольной пирамиды PABCD
— квадрат ABCD
со стороной 2\sqrt{2}
. Ортогональная проекция вершины P
на плоскость основания совпадает с точкой A
. Двугранный угол пирамиды при ребре PC
равен 120^{\circ}
. Найдите:
а) величину плоского угла PBC
;
б) высоту треугольника PDC
, опущенную из вершины D
;
в) двугранный угол при ребре BC
;
г) угол между прямыми PB
и CD
;
д) угол между плоскостями PAB
и PCD
;
е) расстояние от точки B
до плоскости PAC
;
ж) расстояние от точки D
до плоскости PBC
;
з) угол между прямой PB
и плоскостью PCD
;
и) расстояние между прямыми AB
и PD
.
Ответ. а) 90^{\circ}
; б) \frac{4}{\sqrt{3}}
; в) 45^{\circ}
; г) 45^{\circ}
; д) 45^{\circ}
; е) 2
; ж) 2
; з) 30^{\circ}
; и) 2
.
Решение. Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на \sqrt{2}
, т. е.
AC=BD=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
, OH
— перпендикуляр к ребру PC
. Тогда плоскость BHD
перпендикулярна прямой PC
, так как PC\perp OH
и PC\perp BD
. Значит, линейный угол двугранного угла при ребре PC
пирамиды — это угол BHD
. По условию \angle BHD=120^{\circ}
. Треугольник BHD
равнобедренный. Его медиана HO
является высотой и биссектрисой, поэтому
OH=OD\tg OBH=\frac{1}{2}BD\tg30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Обозначим \angle ACP=\gamma
. Тогда
\sin\gamma=\frac{OH}{OC}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\gamma=\sqrt{\frac{2}{3}},~\tg\gamma=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Значит,
PA=AC\tg\gamma=4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2},~
а) По теореме о трёх перпендикулярах BC\perp PB
, следовательно, \angle PBC=90^{\circ}
.
б) Поскольку PC\perp DH
, отрезок DH
— высота прямоугольного треугольника PDC
. Из прямоугольного треугольника DOH
с углом 30^{\circ}
при вершине D
находим, что
DH=2OH=\frac{4}{\sqrt{3}}.
в) Прямая BC
перпендикулярна плоскости PAB
, поэтому линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре BC
— это угол ABP
. Из прямоугольного треугольника PAB
с катетами AB=PA=2\sqrt{2}
находим, что \angle ABP=45^{\circ}
.
г) Поскольку CD\parallel AB
, угол между скрещивающимися прямыми PB
и CD
равен углу между пересекающимися прямыми AB
и PB
, т. е. углу ABP
, равному 45^{\circ}
.
д) Плоскости PAB
и PCD
проходят через параллельные прямые соответственно AB
и CD
и имеют общую точку P
. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку P
параллельно AB
и CD
. Эта прямая перпендикулярна прямым PD
и PA
, соответственно перпендикулярным CD
и AB
, следовательно, угол между плоскостями PAB
и PCD
равен углу APD
, равному углу равнобедренного прямоугольного треугольника PAD
, т. е. 45^{\circ}
.
е) Прямая BO
перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и PA
плоскости PAC
, значит, BO
— перпендикуляр к этой плоскости, и поэтому расстояние от точки B
до плоскости PAC
равно BO=\frac{1}{2}BD=2
.
ж) Прямая AD
параллельна прямой BC
, лежащей в плоскости PBC
, поэтому прямая AD
параллельна плоскости PBC
. Значит, расстояние d
от точки D
до плоскости PBC
равно расстоянию до этой плоскости от точки A
, т. е. высоте AQ
равнобедренного прямоугольного треугольника PAB
, проведённой из вершины прямого угла. Следовательно,
d=AQ=\frac{AB}{\sqrt{2}}=2.
з) Пусть \varphi
— угол между прямой PB
и плоскостью PCD
, а h
— расстояние от точки B
до этой плоскости. Поскольку прямая AB
параллельна прямой CD
, лежащей в плоскости PCD
, прямая AB
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние от точки B
до плоскости PCD
равно расстоянию до этой плоскости от точки A
, т. е. высоте AF
равнобедренного прямоугольного треугольника PAD
, проведённой из вершины прямого угла. Тогда
h=AF=\frac{AD}{\sqrt{2}}=2.
Тогда
\sin\varphi=\frac{h}{PB}=\frac{h}{PA\sqrt{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
Следовательно, \varphi=30^{\circ}
.
и) Поскольку прямая AB
параллельна прямой CD
, лежащей в плоскости PCD
, прямая AB
параллельна этой плоскости. Значит, расстояние p
между прямыми AB
и PD
равно расстоянию от произвольной точки прямой AB
, например, от точки A
, до плоскости PCD
, т. е. высоте AF
равнобедренного прямоугольного треугольника PAD
, проведённой из вершины прямого угла. Следовательно,
p=AF=2.