14289. Куб, длина ребра которого 2\sqrt{2}
, пересечён плоскостью. Найдите площадь сечения, если какие-то две стороны этого сечения равны 4 и 2.
Ответ. 9.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный куб. Заметим, что диагональ его грани равна 4, а все остальные отрезки с концами на рёбрах одной грани имеют меньшую длину, поэтому одна из сторон сечения — это диагональ грани. Без ограничения общности можно считать, что это AB_{1}
.
Плоскость, содержащая AB_{1}
, должна пересечь хотя бы одну из граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
или BB_{1}C_{1}C
и хотя бы одну из граней AA_{1}D_{1}D
или ABCD
. Но сторона сечения, лежащая в любой из этих граней, не меньше, чем длина ребра, поэтому она не может быть равна 2. Значит, плоскость сечения пересекает грань CC_{1}D_{1}D
, причём по отрезку, параллельному AB_{1}
. Поскольку DC_{1}\parallel AB_{1}
, этот отрезок соединяет середины двух соседних рёбер этой грани и параллелен DC_{1}
. Пусть, например, это отрезок KM
, соединяющий середины C_{1}D_{1}
и DD_{1}
соответственно. Тогда искомое сечение — равнобокая трапеция AMKB_{1}
.
По теореме Пифагора
AM^{2}=B_{1}K^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=10,
Пусть KH
— высота трапеции, а L
— точка на основании AB_{1}
, для которой KL\parallel AM
. Тогда AMKL
— параллелограмм, поэтому
KL=AM,~AL=AM=2,~B_{1}L=AB_{1}-AL=4-2=2,
HL=\frac{1}{2}B_{1}L=1,~KH=\sqrt{KL^{2}-HL^{2}}=\sqrt{10-1}=3.
Следовательно,
S_{AMKB_{1}}=\frac{AB_{1}+KM}{2}\cdot KH=\frac{4+2}{2}\cdot3=9.
Источник: Московская математическая регата. — 2019-2020, третий тур, № 2, 11 класс