14290. Основание пирамиды с вершиной P
— четырёхугольник ABCD
, у которого сумма углов A
и D
в пять раз меньше суммы углов B
и C
. Найдите угол между плоскостями граней PAB
и PCD
, если они обе перпендикулярны основанию.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Из условия задачи следует, что в четырёхугольнике ABCD
сумма углов A
и D
в шесть раз меньше суммы всех четырёх углов четырёхугольника, т. е. равна
\frac{1}{6}\cdot360^{\circ}=60^{\circ}\ne180^{\circ}.
Значит, прямые AB
пересекаются в некоторой точке X
. Тогда плоскости APB
и CPD
пересекаются по прямой PX
.
Поскольку плоскости APB
и CPD
перпендикулярны плоскости ABC
, то прямая их пересечения перпендикулярна плоскости ABC
(см. задачу 9104). Тогда угол BXC
— линейный угол двугранного угла с ребром PX
, а так как сумма углов A
и D
равна 60^{\circ}
, то \angle BXC=120^{\circ}
. Этот угол тупой, поэтому угол между указанными плоскостями равен 60^{\circ}
.
Источник: Московская математическая регата. — 2019-2020, второй тур, № 2, 10 класс