14294. Рассматриваются все призмы, в основании которых лежит выпуклый 2015-угольник. Какое наибольшее количество рёбер такой призмы может пересечь плоскость, не проходящая через её вершины?
Ответ. 2017.
Решение. Пусть плоскость пересекла n
рёбер призмы. Тогда в её сечении получился n
-угольник. Значит, эта плоскость пересекла и ровно n
граней призмы. Сечение выпуклого многогранника не может иметь больше сторон, чем количество граней этого многогранника. Значит, n\leqslant2017
.
Существование сечения, пересекающего все грани призмы, можно показать на примере прямой призмы с меньшим количеством граней, например, для пятиугольной призмы (см. рис.). Таким образом, наибольшее значение n
равно 2017.
Примечание. На самом деле, у любой призмы, основание которой — выпуклый многоугольник, существует сечение, пересекающее все её грани.
Источник: Московская математическая регата. — 2015-2016, пятый тур, № 2, 11 класс