14296. Даны три попарно скрещивающиеся и попарно перпендикулярные прямые. Расстояние между каждыми двумя равно a
. Найдите площадь параллелограмма, две вершины которого расположены на одной прямой, а две оставшиеся — на двух других прямых.
Ответ. a\sqrt{2}
.
Решение. Данные в условии прямые содержат скрещивающиеся рёбра какого-нибудь прямоугольного параллелепипеда, а так как расстояния между каждыми двумя из этих прямых равны, то этот параллелепипед — куб. Пусть это куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а AB
, B_{1}C_{1}
и DD_{1}
— указанные попарно перпендикулярные и попарно скрещивающиеся прямые. Если две вершины параллелограмма лежат на прямой AB
, то две другие должны лежать на прямой, параллельной AB
, т. е. перпендикулярной и B_{1}C_{1}
, и DD_{1}
. Такая прямая должна пересекать эти рёбра. Единственная такая прямая — это прямая, содержащая общий перпендикуляр скрещивающихся прямых B_{1}C_{1}
и DD_{1}
. Значит, это прямая C_{1}D_{1}
, а две вершины параллелограмма, лежащие на этих прямых — это вершины C_{1}
и D_{1}
куба. Тогда противоположная сторона параллелограмма — это ребро AB
. Следовательно, этот параллелограмм — прямоугольник ABC_{1}D_{1}
, а его площадь равна a^{2}\sqrt{2}
.