14298. В правильной четырёхугольной призме ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины B_{1}
на плоскость ACD_{1}
, если AB=a
, AA_{1}=b
.
Ответ. \frac{2ab}{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABCD
. Опустим перпендикуляр B_{1}H
на прямую D_{1}O
. Поскольку AO
— перпендикуляр к плоскости BDD_{1}
, прямая B_{1}H
перпендикулярна пересекающимся прямым AO
и D_{1}O
плоскости ACD_{1}
. Значит, B_{1}H
— перпендикуляр к этой плоскости.
Таким образом, задача сводится к вычислению расстояния от вершины B_{1}
прямоугольной трапеции BOD_{1}B_{1}
с основаниями BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}
, B_{1}D_{1}=a\sqrt{2}
и меньшей боковой стороной BB_{1}=b
до большей боковой стороны OD_{1}
.
Пусть O_{1}
— середина B_{1}D_{1}
. Из прямоугольного треугольника OO_{1}D_{1}
находим, что
OD_{1}=\sqrt{O_{1}D_{1}^{2}+OO_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+b^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+b^{2}}.
Выражая двумя способами удвоенную площадь треугольника OB_{1}D_{1}
, получаем равенство OD_{1}\cdot B_{1}H=B_{1}D_{1}\cdot OO_{1}
. Следовательно,
B_{1}H=\frac{B_{1}D_{1}\cdot OO_{1}}{OD_{1}}=\frac{a\sqrt{2}\cdot b}{\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+b^{2}}}=\frac{2ab}{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}.