14299. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ AC_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}BD
. Докажите, что этот параллелепипед — куб.
Решение. Обозначим AB=a
, BC=b
, AA_{1}=c
. Нужно доказать, что a=b=c
.
Прямая AC_{1}
перпендикулярна плоскости A_{1}BD
, значит, она перпендикулярна прямой BD
, лежащей в этой плоскости. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ортогональная проекция AC
прямой AC_{1}
на плоскость ABC
перпендикулярна BD
. Диагонали прямоугольника ABCD
перпендикулярны, следовательно, это ромб. Таким образом b=a
.
Пусть O
— центр основания ABCD
. Обозначим \angle AC_{1}C=\angle AOA_{1}=\alpha
. Выражая \tg\alpha
из прямоугольных треугольников ACC_{1}
и AOA_{1}
получим
\frac{AC}{CC_{1}}=\frac{AA_{1}}{OA},~\mbox{или}~\frac{a\sqrt{2}}{c}=\frac{c}{\frac{a}{\sqrt{2}}},
откуда \frac{a\sqrt{2}}{c}=\frac{c\sqrt{2}}{a}
, т. е. c^{2}=a^{2}
. Следовательно, c=a
. Таким образом, a=b=c
. Что и требовалось доказать.