14300. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ AC_{1}
наклонена к граням BB_{1}C_{1}C
и CC_{1}D_{1}D
под равными углами величины \alpha
. Найдите угол между плоскостями BC_{1}D
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt{2\ctg^{2}\alpha-1}}=\arctg\sqrt{2(\ctg^{2}\alpha-1)}=\arctg\frac{\sqrt{2\cos2\alpha}}{\sin\alpha}
.
Решение. Поскольку AB
и AD
— перпендикуляры к плоскостям BB_{1}C_{1}C
и CC_{1}D_{1}D
соответственно, то углы диагонали AC_{1}
с этими плоскостями — это углы соответственно AC_{1}B
и AC_{1}D
. По условию оба они равны \alpha
.
Прямоугольные треугольники ABC_{1}
и ADC_{1}
равны по гипотенузе и острому углу, значит, AB=AD
. Тогда ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадраты. Пусть O
и O_{1}
соответственно — их центры, а стороны равны a
. Линейный угол острого двугранного угла, образованного плоскостями BC_{1}D
и A_{1}B_{1}C_{1}
— это угол O_{1}C_{1}O
. Обозначим его \varphi
.
Из прямоугольного треугольника O_{1}C_{1}O
находим, что BC_{1}=a\ctg\alpha
, а так как отрезок C_{1}O
— высота и медиана равнобедренного треугольника BC_{1}D
, то
C_{1}O=\sqrt{BC_{1}^{2}-BO^{2}}=\sqrt{a^{2}\ctg^{2}\alpha-\frac{a^{2}}{2}}=a\sqrt{\ctg^{2}\alpha-\frac{1}{2}}.
Следовательно,
\cos\varphi=\frac{C_{1}{O_{1}}}{C_{1}O}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{\ctg^{2}\alpha-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\ctg^{2}\alpha-1}}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 1.39, с. 30