14300. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ AC_{1}
наклонена к граням BB_{1}C_{1}C
и CC_{1}D_{1}D
под равными углами величины \alpha
. Найдите угол между плоскостями BC_{1}D
и A_{1}B_{1}C_{1}D
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt{2\ctg^{2}\alpha-1}}=\arctg\sqrt{2(\ctg^{2}\alpha-1)}=\frac{\sqrt{2\cos2\alpha}}{\sin\alpha}
.
Решение. Поскольку AB
и AD
— перпендикуляр к плоскостям BB_{1}C_{1}
и CC_{1}D_{1}D
соответственно, то углы диагонали AC_{1}
с этими плоскостями — это углы соответственно A_{1}CB_{1}
и A_{1}CD_{1}
. По условию оба они равны \alpha
.
Прямоугольные треугольники A_{1}B_{1}C
и A_{1}D_{1}C
равны по гипотенузе и острому углу, значит, A_{1}B_{1}=A_{1}D_{1}
и CB_{1}=CA_{1}
. Тогда A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат. Пусть O
— его центр. Линейный угол острого двугранного угла, образованного плоскостями BC_{1}D
и A_{1}B_{1}C_{1}
— это угол COC_{1}
. Обозначим его \varphi
.
Из прямоугольного треугольника CB_{1}A_{1}
находим, что CB_{1}=a\ctg\alpha
, а так как отрезок CO
— высота и медиана равнобедренного треугольника B_{1}CD_{1}
, то
CO=\sqrt{CB_{1}^{2}-B_{1}O^{2}}=\sqrt{a^{2}\ctg^{2}\alpha-\frac{a^{2}}{2}}=a\sqrt{\ctg^{2}\alpha-\frac{1}{2}}.
Следовательно,
\cos\varphi=\frac{C_{1}{O}}{CO}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{\ctg^{2}\alpha-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\ctg^{2}\alpha-1}}.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 1.39, с. 30