14302. Пусть S_{1}
и S_{2}
— площади граней ADC
и BDC
, \varphi
— двугранный угол при ребре CD
, \alpha
— угол между прямыми AB
и CD
. Тогда
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}-2S_{1}S_{2}\cos\varphi=\frac{1}{4}(AB\cdot CD\sin\alpha)^{2}.
Решение. Пусть A'
, B'
, C'
, D'
— ортогональные проекции вершин соответственно A
, B
, C
, D
тетраэдра ABCD
на плоскость, перпендикулярную прямой CD
, а AP
и BQ
— высоты граней ADC
и BDC
. Тогда
D'A'=AP=\frac{2S_{1}}{CD},~D'B'=BQ=\frac{2S_{2}}{CD}.
Угол наклонной AB
и плоскостью проекций равен 90^{\circ}-\alpha
, поэтому
A'B'=AB\cos(90^{\circ}-\alpha)=AB\sin\alpha.
Угол при вершине D'
треугольника A'D'B'
— линейный угол двугранного угла при ребре тетраэдра, поэтому по теореме косинусов
AB^{2}\sin^{2}\alpha=A'B'^{2}=D'A'^{2}+D'B'^{2}-2D'A'\cdot D'B'\cos\varphi=
=\left(\frac{2S_{1}}{CD}\right)^{2}+\left(\frac{2S_{2}}{CD}\right)^{2}-2\cdot\frac{4S_{1}S_{1}}{CD^{2}}\cos\varphi.
Умножив обе части этого равенства на \frac{1}{4}CD^{2}
, получим требуемое.