14309. Пусть S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади граней тетраэдра ABCD
. Докажите, что
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+S_{4}^{2}\leqslant\frac{1}{4}((AB\cdot CD)^{2}+(AC\cdot BD)^{2}+(BC\cdot AD)^{2}).
Решение. Пусть угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha
, между прямыми AC
и CD
— \beta
, между прямыми BC
и AD
— \gamma
. Сумма квадратов площадей граней тетраэдра равна сумме квадратов площадей трёх непараллельных граней описанного параллелепипеда этого тетраэдра (см. задачу 14304). Следовательно,
S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+S_{4}^{2}=
=\left(\frac{1}{2}AB\cdot CD\sin\alpha\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\beta\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}BC\cdot AD\sin\gamma\right)^{2}\leqslant
\leqslant\left(\frac{1}{2}AB\cdot CD\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}AC\cdot BD\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}BC\cdot AD\right)^{2}=
=\frac{1}{4}((AB\cdot CD)^{2}+(AC\cdot BD)^{2}+(BC\cdot AD)^{2})
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — пример 6, с. 163