14322. Пусть AM
и BN
— высоты граней ABD
и ABC
ортоцентрического тетраэдра ABCD
. Докажите, что прямая MN
проходит через ортоцентр тетраэдра.
Решение. Пусть H
— ортоцентр ортоцентрического тетраэдра ABCD
, AA_{1}
и CC_{1}
— высоты тетраэдра, а плоскость \alpha
пересекающихся прямых AA_{1}
и CC_{1}
пересекает прямую BD
в точке M'
. Тогда BD\perp AA_{1}
и BD\perp CC_{1}
, поэтому прямая BD
перпендикулярна плоскости \alpha
, а значит, и прямой AM'
, лежащей в этой плоскости. Тогда AM'
— высота грани ABD
, поэтому M'
совпадает с M
. Следовательно, HM\perp BD
. Аналогично, HN\perp AC
.
Точки M
и N
— общие точки различных плоскостей AMC
и BND
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой MN
. Точка H
лежит в каждой из этих плоскостей, следовательно, она лежит на прямой MN
. Что и требовалось доказать.