14323. Докажите, что для того, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, необходимо и достаточно, чтобы перпендикуляры к его граням, восставленные из точек пересечения медиан, пересекались в одной точке.
Решение. Пусть G
— точка пересечения медиан тетраэдра ABCD
(см. задачу 7110), а G_{a}
, G_{b}
, G_{c}
и G_{d}
— точки пересечения медиан граней соответственно BCD
, ACD
, ABD
и ABC
. Тогда при гомотетии с центром G
и коэффициентом -\frac{1}{3}
тетраэдр ABCD
переходит в тетраэдр G_{a}G_{b}G_{c}G_{d}
. При этом перпендикуляры, о которых говорится в условии, переходят в высоты тетраэдра ABCD
. Следовательно, высоты пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда эти высоты пересекаются в одной точке.