14324. Пусть H
— ортоцентр ортоцентрического тетраэдра ABCD
, а O
— центр описанной сферы. Докажите, что:
а) \overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})
;
б) \overrightarrow{HO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD})
.
Решение. б) Пусть
\frac{1}{2}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD})=\overrightarrow{HX}.
Тогда
\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{HX}-\overrightarrow{HA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD})-\overrightarrow{HA}=
=\frac{1}{2}(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}-\overrightarrow{HA}),
а также
\overrightarrow{AX}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{HA}^{2}+\overrightarrow{HB}^{2}+\overrightarrow{HC}^{2}+\overrightarrow{HD}^{2})+
+2\overrightarrow{HB}(\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{HA})+2\overrightarrow{HC}(\overrightarrow{HD}-\overrightarrow{HA})+2\overrightarrow{HD}(\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HA}).
Поскольку HB\perp AC
, HC\perp AD
, HD\perp AB
, то
\overrightarrow{HB}(\overrightarrow{HC}-\overrightarrow{HA})=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC}=0,~\overrightarrow{HC}(\overrightarrow{HD}-\overrightarrow{HA})=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AD}=0,
\overrightarrow{HD}(\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HA})=\overrightarrow{HD}\cdot\overrightarrow{AB}=0.
Следовательно,
AX^{2}=\frac{1}{4}(HA^{2}+HB^{2}+HC^{2}+HD^{2}).
Аналогично,
BX^{2}=\frac{1}{4}(HA^{2}+HB^{2}+HC^{2}+HD^{2}),~CX^{2}=\frac{1}{4}(HA^{2}+HB^{2}+HC^{2}+HD^{2}),
DX^{2}=\frac{1}{4}(HA^{2}+HB^{2}+HC^{2}+HD^{2}),
т. е. AX=BX=CX=DX
. Значит, точка X
совпадает с центром O
описанной сферы тетраэдра. Отсюда следует утверждение пункта б).
а)
\overrightarrow{HO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD})=
=\frac{1}{2}((\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OD})),
откуда
\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{HO}-4\cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{HO}=-\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{OH}.
Что и требовалось доказать.