14326. Докажите, что сумма двух противоположных рёбер тетраэдра меньше суммы остальных четырёх рёбер.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD
с рёбрами BC=a
, AC=b
, AB=c
, DA=a_{1}
, DB_{1}=b_{1}
DC=c_{1}
. По неравенству треугольника
a\lt b_{1}+c_{1}~\mbox{и}~a\lt b+c,
поэтому
2a\lt b+c+b_{1}+c_{1}.
Аналогично,
2a_{1}\lt b+c+b_{1}+c_{1}.
Сложив эти два неравенства, получим
2(a+a_{1})\lt2(b+c+b_{1}+c_{1}).
Следовательно,
a+a_{1}\lt b+c+b_{1}+c_{1}.
Что и требовалось доказать.