14327. Докажите, что сумма двух трёх рёбер тетраэдра, имеющих общую вершину, больше полусуммы трёх других его рёбер.
Решение. Рассмотрим тетраэдр ABCD
с рёбрами BC=a
, AC=b
, AB=c
, DA=a_{1}
, DB_{1}=b_{1}
DC=c_{1}
. По неравенству треугольника
a_{1}+b_{1}\gt c,~b_{1}+c_{1}\gt a,~a_{1}+c_{1}\gt b.
Сложив эти три неравенства, получим
2(a_{1}+b_{1}+c_{1})\gt a+b+c.
Следовательно,
a_{1}+b_{1}+c_{1}\gt\frac{a+b+c}{2}.
Что и требовалось доказать.